数学，真的遥不可及吗？逻辑和证明的思考能力，能帮我们做什么？
这是用旅行、历史与对话编织成的一部数学漫游记。在16个探险故事里，没有晦涩的术语，只有生活的故事；没有艰深的知识，只有发现的惊喜；没有枯燥的论证，只有思考的乐趣。
数学不是公式的迷宫，而是人类理解世界的美妙方式之一，也是人类基于直觉和好奇心创造的鲜活奇迹。思维的游戏，是我们与生俱来的、用以理解这个复杂世界的力量。
数学等待着每一位好奇的旅人，与之不期而遇。
来源 |《数学奇幻之旅：16个探险故事》
作者 | [美] 约瑟夫·马祖尔
译者 | 应俊耀 蔚 怡
01
小说与代数
我是通过一本俄国小说开始了解数学的。在我17岁生日的那天清晨，哥哥送给我两本书，用他的话来说就是我“可能会喜欢看”。
一本是532页平装本的陀思妥耶夫斯基的《罪与罚》，另一本则是472页的代数学课本。
我的哥哥虽然具有敏锐的数学洞察力，却没有注意到，人们阅读近世代数学教科书的方式与阅读俄国小说的方式是完全不同的。
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第二天一早，我没起床就开始看这部小说，一直到深夜，连午饭和晚饭都没吃，一口气把书看完了。拉斯科尔尼科夫双臂抡起斧头，将斧背砍到那个老妇人头上——书中的情节看得我热血沸腾、神魂颠倒。小说读到最后，我对哥哥挑选引人入胜的文学作品的能力产生了强烈的信任感，于是我翻开了另一本书，期待它能像第一本书那样精彩。
第二天早上，我对着第二页上的一句话思考了好几个小时：“显然，从整环公设中可以证明或推导出的任何结论，在任何特定的整环内都是成立的……”
我卡在了“显然”二字上。我穿好衣服，再次花了一天时间，试图理解这本新书，但这次我连前五页都没能读完。那个夏天，我费尽力气才读完前几章。
近世代数到底是怎么一回事？在完成了大量习题的基础上，我终于学到了第四章，熟练掌握了“抽象概念”。但我无法理解所有这些抽象的数学概念与生活本身之间有何关联。
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我在解题过程中感受到的自信的喜悦，以及完成证明时产生的见证美妙的情感，都是极为强烈的。数学逐渐成为我青少年时期想要翻越的一座座高山。
抽象的数学概念犹如稀薄的空气，在攀登路上经历了穿行其中的挑战过后，我只会感觉山顶的美景更加雄伟壮丽。在一座山峰上站稳脚跟后，我能看到别人正站在更高处云雾缭绕的山谷小径上，透过繁花盛开的思想雨林向我挥手召唤。
在三十年的数学教学生涯中，我收集了许多超凡卓越的学生和数学同人从最陡峭的坡面征服数学高峰的故事：关于他们的攀登，关于他们在山峰上（即便是再低矮的山峰上）看到的风景，关于他们有了新发现的激动时刻，关于他们对未知智慧之美的探索，关于他们对数学证明确定无疑的自信。
这些都是关于人的故事，归根结底与俄国小说中的激动人心之处并无太大区别。我也开始明白哥哥的无心之举。
02
什么是证明？
不过，本书还有一个关于数学、逻辑和科学真理的观点。要欣赏现代数学，我们就必须研究人们是如何交流数学的，质疑那些让我们愿意确信的定理的证明。
什么是证明呢？我们发现，即使在数学这个以精确著称的学科中，也没有一个被普遍接受的答案，这似乎有些奇怪。
一个正式的答案可能是这样的：它是由一个既定事实（公理、定理等）出发得到的一组有序命题，每个命题在逻辑上都是从前面的命题推导出来的。
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然而，数学家们遵循着一种更为非正式的做法。许多在主 流数学中被接受和使用的定理，其证明几乎不符合任何有关证明的严格定义。
数学作为一种智力探索活动，以能够产生普遍的真理而享有盛誉。但和我们许多人所认为的相反，这些真理并不是通过严密的逻辑论证链条来传达的。
就像音乐不仅仅是音符一样，证明的本质也不仅仅是纯粹的逻辑。尽管数学似乎是一种客观真理，但“主观判断”在数学界扮演着核心角色，这似乎有些奇怪。数学家如何知道一个证明何时是完整的呢？是不是没人能发现错误，它就算完整了呢？还是说这来自一种内心的感觉，这种感觉又通过知识和经验来与主观判断相互作用呢？
在符合数学规律的感觉中，有很大一部分来自理性批评和辩论的实践中所形成的逻辑经验。
在公元前6世纪早期发生的两件事，戏剧性地改变了西方文明解释世界的方式。第一件事是用因果关系来解释自然现象，而不是用超自然力量来说明。
我们可以说，自然最早就是在那时被发现的。第二件事是理性批评和辩论的实践。这些新进展出 现在地中海东部一段时间的政治大动荡之后，古希腊城邦政治结构由此产生了重大变革。
雅典的民主意味着公民可以参与城邦治理和法治建设，自由地辩论和质疑政治观点。在城邦制度确立之前，统治的更替通常仅仅意味着从一个僭主换成另一个僭主。
据传古希腊哲学始创于公元前585年，当时泰勒斯（Thales）和其他爱奥尼亚商人前往埃及和已知世界的其他地方，带回了大量与建筑实践相关的数学应用资料。
我们可以想象，当航船穿越地中海，沿着爱琴海岸驶回他的故乡——位于如今土耳其海岸的米利都时，泰勒斯正在这漫长的旅途中思考和分析他所学到的精髓。
在接下来的三百年里，从古希腊哲学的创始人泰勒斯和毕达哥拉斯（Pythagoras）的时代，到柏拉图（Plato）和他的雅典学派，再到欧几里得（Euclid）以及亚历山大博物馆的建立，逻辑推理逐渐发展为一套能够探索纯粹抽象的非物质数学世界的原理体系。
另一个决定性事件出现在欧几里得完成《几何原本》（Elements）前不久，当时亚里士多德（Aristotle）已经将日常逻辑（ordinary logic）形式化。他构建了14个基本的逻辑模型，比如“人终有一死；所有英雄都是人；因此，所有英雄都会死”。
到公元前300年，欧几里得的《几何原本》第13卷已经撰写完成，逻辑推理已经发展成熟到能被提炼成几条规则。本书的第一部分“逻辑”，就是关于这种逻辑的。
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但是，逻辑推理无法解决无穷的不可思议。有一位持怀疑态度的古希腊数学家芝诺（Zeno）发起了针对运动的论战，他用所谓坚实牢固的逻辑链将错综复杂的论点归整成条理清楚却自相矛盾的命题。
柏拉图告诉我们，芝诺和他的老师巴门尼德一起从埃利亚（位于意大利西海岸）来到雅典参加泛雅典娜节。在那里，大概是在活动间隙， 芝诺向非常年轻的苏格拉底（Socrates）朗读了他的作品。根据芝诺的众多论点之一，如果乌龟先行一步，即使是脚步敏捷的阿喀琉斯也无法超越爬行缓慢的乌龟。
芝诺认为，当阿喀琉斯到达此前乌龟的位置时，乌龟已经移动到了更靠前的地方。为了追上乌龟，阿喀琉斯不得不永远重复这样的过程。在另一个论证中，芝诺指出，这种运动是不可能的，因为一个物体要移动任何距离，都必须先移动这段距离的一半，然后再移动剩余距离的一半，以此类推，永远都必须移动某段剩余距离的一半，因此，永远都不可能移动完剩余的全部距离。
芝诺提出这些难题，可能是为了引发知识界的讨论，也可能只是为了刺激雅典的哲学家或体育迷。
他被称为“双舌芝诺”，因为他经常就自己的论点进行正反两方面的辩论，这些论点通常涉及无穷大或无穷小，对几何学的发展产生了持久的影响。
这些影响需要时间。
03
直觉与逻辑
在欧几里得之后，除了芝诺和阿基米德（Archimedes）为理解“无穷”进行过短暂而崇高的尝试，直面无穷的问题差不多还要近两千年的时间，直到为解决芝诺提出的一些难题，受传统束缚的逻辑推理规则被放宽。
1629年，伽利略（Galileo）的学生博纳文图拉·卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri）设计了一个方案，避开芝诺提出的问题，故意忽略自己论证中的逻辑问题。奇怪的是，他的论证却得出了正确的结果。
卡瓦列里的伟大贡献在于，让直觉而非逻辑来引导数学。他的思想为微积分的发明提供了动力。微积分是一种新的数学，从预测行星运动到乐器设计，它在现实世界中得到了奇妙的应用。
卡瓦列里的方法在很大程度上依赖强烈的直觉。在此后近两百年里，新的数学概念，那些超越了日常逻辑界限的概念，都是在直觉而非逻辑的引导下被接受的。
强大的直觉将数学推向了崭新而辉煌的高度，直到18世纪开始出现问题，前后矛盾陆续凸显。到19世纪中叶，直觉和逻辑开始产生分歧。曾经被直觉证明的定理，被逻辑证明是错误的。
我们需要一种新的逻辑，一种能够处理无穷大和无穷小的复杂性的逻辑。一直到19世纪末，随着集合论的发现，这种新的逻辑才出现。集合论是数学的一个分支，涉及正确定义数的方法。集合论为我们提供了算术公理，并引出了有关数学基础本身的深刻问题。集合论还为我们提供了一种适用于所有数学分支的通用的统一语言。
格奥尔格·康托尔有一个引人注目的头衔——（哈雷大学的）“超凡数学教授”。他在19世纪发展了集合论，用来研究实数，并由此引出了数学中最具革命性的成果之一：存在不同大小的无穷。
是什么样的逻辑引导出这个概念的呢？由于这些结论违背直觉，康托尔花了大量时间撰写哲学和神学论文，为他关于无穷的结论辩护。与此同时，他对伊丽莎白时代的文学充满热情，并花了很多时间试图证明莎士比亚戏剧是弗朗西斯·培根写的。他在逻辑的边缘徘徊。
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集合论公理是在20世纪初才提出的，当时许多数学家已经做了大量工作，为集合论的基础建立了正确的框架。此外，莎士比亚仍然被认为是其剧本的作者。
1931 年，库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）证明了集合论公理的不完备性，震惊了数学界。事实上，他证明了，无论添加多少新的公理到体系中，在集合论的公理框架内，总会有一个命题无法被证明或证伪。在永恒的未来，任何人都无法证明或证伪这个命题，这对数学的震撼肯定不亚于毕达哥拉斯发现一把尺子无法同时测量正方形的边和对角线。
就连芝诺悖论也无法与这一发现相提并论。过去存在，现在也一直存在的问题是，为何有些事情看起来似乎永远不会结束。本书的第二部分“无穷”，就是关于无穷的逻辑的。
虽然逻辑学家对公理化集合论的形式化有意见，但每个人都欣然承认，我们能够计数，研究妙趣横生的数学，并在数学的肩膀上可验证地构建和支持科学。形式逻辑的问题似乎并不会干扰物质现实。
把要求从严密证明放宽到合情证明有一个很大的好处：它验证了科学方法。“科学方法之父”弗朗西斯·培根爵士（他可不是莎士比亚戏剧的作者）认为，演绎推理不适合研究物质世界。他认为，人们可以通过观察特殊的具体案例得出合情的一般性结论。
科学依赖三种推理模式。无疑，它依赖日常逻辑，而且间接地依赖无穷逻辑，但它最依赖合情推理（plausible reasoning）。
它所依据的理念是：一个人足够多次发现某事是正确的，那么它通常就是正确的。在数学证明中，“足够频繁”意味着“无限频繁”，但科学证明则要宽松得多。在我的一生中，太阳升起的频率足以让我相信它明天还会升起。反之，虽然我从未经历过毁灭性的地震，但“从未”也不足以让我相信我将来不会经历地震。
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普通的演绎推理必然要从一般假设出发推导出具体的情况，而合情推理则反其道而行之，从具体的观察结果推导出一般的（但只是合情的）结论。谁也不能否认，这似乎将真理的力量削弱到了“合情”的程度，但当弗朗西斯·培根爵士在1620年提出这一概念的时候，他改变了我们对知识的理解。
尽管还要等到约150年后托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）出现，我们才会有量化“合情”的可靠数学基础，但为支持培根的观点而建立的数学（概率论和统计学）永远地改变了科学。关于合情推理的故事，就是本书第三部分“现实”的内容。
这些是人类推理和逻辑（我们人类认为的“证明”，即某件事正确）的基本形式：日常逻辑，关注证明和分类；无穷逻辑，与无穷和数有关；合情推理，关注概率和自然界——即便是雨林。
数学第一眼看上去往往令人生畏，不仅对新手而言如此，甚至对训练有素的科学家来说也不例外。不幸的是，它并不总是像古印度人对勾股定理的证明那样清晰——只有一幅图和一个词“看”（Behold）。
但在本书中，我希望像欧几里得在2300年前所做的那样，攀登高峰，透过缓慢移动的云层，看到思想的雨林，进而向你展示数学之美，以及在数学世界长途跋涉的乐趣。在经历了漫长的抽象之旅后，回到支配着自然世界的科学的合情逻辑，也会令人耳目一新。
本期荐书
《数学奇幻之旅：16个探险故事》
